核心要点
能写出 PDF f(x)=(1/(σ√(2π)))·exp(−(x−μ)²/(2σ²))，由均值 μ 与标准差 σ 两个参数完全决定
关于 μ 对称，均值=中位数=众数；68-95-99.7 法则：μ±1σ/±2σ/±3σ 各约含 68%/95%/99.7%
独立正态的线性组合仍是正态；标准化 Z=(X−μ)/σ 服从 N(0,1)
是 CLT 的极限分布，支撑 z/t 检验、回归残差假设等推断方法
标准回答
概率密度：f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(−(x−μ)²/(2σ²))
关键性质：
- 参数：均值 μ，标准差 σ（方差 σ²）
- 对称于 μ，均值 = 中位数 = 众数
- 68-95-99.7 法则：μ±1σ 约 68%，±2σ 约 95%，±3σ 约 99.7%
- 线性组合：独立正态变量之和仍正态
- 尾部：轻尾（相比 t 分布）；极端值概率指数下降
应用：测量误差、大样本均值近似（中心极限定理）、回归残差近似、许多检验的渐近理论。
检验：样本量小且总体方差未知时，用 t 分布 替代正态。延伸阅读：概率论基础。
常见误区
⚠️ 常见踩坑
把 CLT 误读为「数据本身会变正态」——CLT 说的是样本均值（或和）的抽样分布近似正态，原始数据可任意偏态。另一误区：默认所有数据都服从正态而盲目套用 z/t 检验；对重尾或强偏数据应先看 QQ 图/做正态性检验，必要时改用非参数方法或变换。
追问
追问 1：标准正态分布 Z 是什么？
Z ~ N(0,1)，由任意正态变量标准化得到：Z = (X − μ) / σ。标准正态表给出 P(Z ≤ z)，用于查临界值、构造置信区间和做 z 检验。
追问 2：数据不满足正态怎么办？
先看偏离程度：轻度偏离且 n 大时，靠 CLT 均值推断仍稳健。否则可做变换（对数、Box-Cox）使其近正态；或改用非参数方法（Wilcoxon、Bootstrap）；计数/比例数据则用对应的 GLM（Poisson、Logistic）。
追问 3：多元正态分布有什么特点？
由均值向量 μ 和协方差矩阵 Σ 决定；边缘分布是正态；不相关且联合正态则独立。高斯过程、线性回归误差多元正态的基础。
延伸学习
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