RMSProp算法

sec_adagrad中的关键问题之一，是学习率按预定时间表 $\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})$ 显著降低。虽然这通常适用于凸问题，但对于深度学习中遇到的非凸问题，可能并不理想。但是，作为一个预处理器，Adagrad算法按坐标顺序的适应性是非常可取的。

Tieleman.Hinton.2012建议以RMSProp算法作为将速率调度与坐标自适应学习率分离的简单修复方法。问题在于，Adagrad算法将梯度 $\mathbf{g}_t$ 的平方累加成状态矢量 $\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2$ 。因此，由于缺乏规范化，没有约束力， $\mathbf{s}_t$ 持续增长，几乎上是在算法收敛时呈线性递增。

解决此问题的一种方法是使用 $\mathbf{s}_t / t$ 。对 $\mathbf{g}_t$ 的合理分布来说，它将收敛。遗憾的是，限制行为生效可能需要很长时间，因为该流程记住了值的完整轨迹。另一种方法是按动量法中的方式使用泄漏平均值，即 $\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2$ ，其中参数 $\gamma > 0$ 。保持所有其它部分不变就产生了RMSProp算法。

算法

让我们详细写出这些方程式。

\mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t. \end{aligned}$$ 常数$\epsilon > 0$通常设置为$10^{-6}$，以确保我们不会因除以零或步长过大而受到影响。 鉴于这种扩展，我们现在可以自由控制学习率$\eta$，而不考虑基于每个坐标应用的缩放。 就泄漏平均值而言，我们可以采用与之前在动量法中适用的相同推理。 扩展$\mathbf{s}_t$定义可获得

\begin{aligned} \mathbf{s}t & = (1 - \gamma) \mathbf{g}t^2 + \gamma \mathbf{s}{t-1} \ & = (1 - \gamma) \left(\mathbf{g}t^2 + \gamma \mathbf{g}{t-1}^2 + \gamma^2 \mathbf{g}{t-2} + \ldots, \right). \end{aligned}

同之前在 sec_momentum小节一样，我们使用$1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}$。 因此，权重总和标准化为$1$且观测值的半衰期为$\gamma^{-1}$。 让我们图像化各种数值的$\gamma$在过去40个时间步长的权重。 ```python %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l import math from mxnet import np, npx npx.set_np() ``` ```python #@tab pytorch from d2l import torch as d2l import torch import math ``` ```python #@tab tensorflow from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf import math ``` ```python #@tab paddle from d2l import paddle as d2l import warnings warnings.filterwarnings("ignore") import paddle import math ``` ```python #@tab all d2l.set_figsize() gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7] for gamma in gammas: x = d2l.numpy(d2l.arange(40)) d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}') d2l.plt.xlabel('time'); ``` ## 从零开始实现 和之前一样，我们使用二次函数$f(\mathbf{x})=0.1x_1^2+2x_2^2$来观察RMSProp算法的轨迹。 回想在 sec_adagrad一节中，当我们使用学习率为0.4的Adagrad算法时，变量在算法的后期阶段移动非常缓慢，因为学习率衰减太快。 RMSProp算法中不会发生这种情况，因为$\eta$是单独控制的。 ```python #@tab all def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2): g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6 s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2 s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2 x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1 x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2 return x1, x2, s1, s2 def f_2d(x1, x2): return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2 eta, gamma = 0.4, 0.9 d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d)) ``` 接下来，我们在深度网络中实现RMSProp算法。 ```python #@tab mxnet, pytorch def init_rmsprop_states(feature_dim): s_w = d2l.zeros((feature_dim, 1)) s_b = d2l.zeros(1) return (s_w, s_b) ``` ```python #@tab paddle def init_rmsprop_states(feature_dim): s_w = d2l.zeros((feature_dim, 1)) s_b = d2l.zeros([1]) return (s_w, s_b) ``` ```python #@tab tensorflow def init_rmsprop_states(feature_dim): s_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1))) s_b = tf.Variable(d2l.zeros(1)) return (s_w, s_b) ``` ```python def rmsprop(params, states, hyperparams): gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s in zip(params, states): s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * np.square(p.grad) p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps) ``` ```python #@tab pytorch def rmsprop(params, states, hyperparams): gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s in zip(params, states): with torch.no_grad(): s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad) p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps) p.grad.data.zero_() ``` ```python #@tab tensorflow def rmsprop(params, grads, states, hyperparams): gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s, g in zip(params, states, grads): s[:].assign(gamma * s + (1 - gamma) * tf.math.square(g)) p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps)) ``` ```python #@tab paddle def rmsprop(params, states, hyperparams): a = [] gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s in zip(params, states): with paddle.no_grad(): s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * paddle.square(p.grad) p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / paddle.sqrt(s + eps) p.grad.zero_() a.append(p) return a ``` 我们将初始学习率设置为0.01，加权项$\gamma$设置为0.9。 也就是说，$\mathbf{s}$累加了过去的$1/(1-\gamma) = 10$次平方梯度观测值的平均值。 ```python #@tab all data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10) d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim), {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim); ``` ## 简洁实现 我们可直接使用深度学习框架中提供的RMSProp算法来训练模型。 ```python d2l.train_concise_ch11('rmsprop', {'learning_rate': 0.01, 'gamma1': 0.9}, data_iter) ``` ```python #@tab pytorch trainer = torch.optim.RMSprop d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9}, data_iter) ``` ```python #@tab tensorflow trainer = tf.keras.optimizers.RMSprop d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9}, data_iter) ``` ```python #@tab paddle trainer = paddle.optimizer.RMSProp d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9}, data_iter) ``` ## 小结 * RMSProp算法与Adagrad算法非常相似，因为两者都使用梯度的平方来缩放系数。 * RMSProp算法与动量法都使用泄漏平均值。但是，RMSProp算法使用该技术来调整按系数顺序的预处理器。 * 在实验中，学习率需要由实验者调度。 * 系数$\gamma$决定了在调整每坐标比例时历史记录的时长。 ## 练习 1. 如果我们设置$\gamma = 1$，实验会发生什么？为什么？ 1. 旋转优化问题以最小化$f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2$。收敛会发生什么？ 1. 试试在真正的机器学习问题上应用RMSProp算法会发生什么，例如在Fashion-MNIST上的训练。试验不同的取值来调整学习率。 1. 随着优化的进展，需要调整$\gamma$吗？RMSProp算法对此有多敏感？ **mxnet** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/4321) **pytorch** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/4322) **tensorflow** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/4323) **paddle** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/11853)

RMSProp算法

sec_adagrad中的关键问题之一，是学习率按预定时间表

\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})

显著降低。虽然这通常适用于凸问题，但对于深度学习中遇到的非凸问题，可能并不理想。但是，作为一个预处理器，Adagrad算法按坐标顺序的适应性是非常可取的。

Tieleman.Hinton.2012建议以RMSProp算法作为将速率调度与坐标自适应学习率分离的简单修复方法。问题在于，Adagrad算法将梯度

\mathbf{g}_t

的平方累加成状态矢量

\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2

。因此，由于缺乏规范化，没有约束力，

\mathbf{s}_t

持续增长，几乎上是在算法收敛时呈线性递增。

解决此问题的一种方法是使用

\mathbf{s}_t / t

。对

\mathbf{g}_t

的合理分布来说，它将收敛。遗憾的是，限制行为生效可能需要很长时间，因为该流程记住了值的完整轨迹。另一种方法是按动量法中的方式使用泄漏平均值，即

\mathbf{s}_t \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1-\gamma) \mathbf{g}_t^2

，其中参数

\gamma > 0

。保持所有其它部分不变就产生了RMSProp算法。

算法

让我们详细写出这些方程式。

\mathbf{s}_t & \leftarrow \gamma \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{x}_t & \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \odot \mathbf{g}_t. \end{aligned}$$ 常数$\epsilon > 0$通常设置为$10^{-6}$，以确保我们不会因除以零或步长过大而受到影响。鉴于这种扩展，我们现在可以自由控制学习率$\eta$，而不考虑基于每个坐标应用的缩放。就泄漏平均值而言，我们可以采用与之前在动量法中适用的相同推理。扩展$\mathbf{s}_t$定义可获得

同之前在 sec_momentum小节一样，我们使用$1 + \gamma + \gamma^2 + \ldots, = \frac{1}{1-\gamma}$。因此，权重总和标准化为$1$且观测值的半衰期为$\gamma^{-1}$。让我们图像化各种数值的$\gamma$在过去40个时间步长的权重。 ```python %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l import math from mxnet import np, npx npx.set_np() ``` ```python #@tab pytorch from d2l import torch as d2l import torch import math ``` ```python #@tab tensorflow from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf import math ``` ```python #@tab paddle from d2l import paddle as d2l import warnings warnings.filterwarnings("ignore") import paddle import math ``` ```python #@tab all d2l.set_figsize() gammas = [0.95, 0.9, 0.8, 0.7] for gamma in gammas: x = d2l.numpy(d2l.arange(40)) d2l.plt.plot(x, (1-gamma) * gamma ** x, label=f'gamma = {gamma:.2f}') d2l.plt.xlabel('time'); ``` ## 从零开始实现和之前一样，我们使用二次函数$f(\mathbf{x})=0.1x_1^2+2x_2^2$来观察RMSProp算法的轨迹。回想在 sec_adagrad一节中，当我们使用学习率为0.4的Adagrad算法时，变量在算法的后期阶段移动非常缓慢，因为学习率衰减太快。 RMSProp算法中不会发生这种情况，因为$\eta$是单独控制的。 ```python #@tab all def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2): g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6 s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2 s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2 x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1 x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2 return x1, x2, s1, s2 def f_2d(x1, x2): return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2 eta, gamma = 0.4, 0.9 d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d)) ``` 接下来，我们在深度网络中实现RMSProp算法。 ```python #@tab mxnet, pytorch def init_rmsprop_states(feature_dim): s_w = d2l.zeros((feature_dim, 1)) s_b = d2l.zeros(1) return (s_w, s_b) ``` ```python #@tab paddle def init_rmsprop_states(feature_dim): s_w = d2l.zeros((feature_dim, 1)) s_b = d2l.zeros([1]) return (s_w, s_b) ``` ```python #@tab tensorflow def init_rmsprop_states(feature_dim): s_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1))) s_b = tf.Variable(d2l.zeros(1)) return (s_w, s_b) ``` ```python def rmsprop(params, states, hyperparams): gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s in zip(params, states): s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * np.square(p.grad) p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / np.sqrt(s + eps) ``` ```python #@tab pytorch def rmsprop(params, states, hyperparams): gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s in zip(params, states): with torch.no_grad(): s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * torch.square(p.grad) p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps) p.grad.data.zero_() ``` ```python #@tab tensorflow def rmsprop(params, grads, states, hyperparams): gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s, g in zip(params, states, grads): s[:].assign(gamma * s + (1 - gamma) * tf.math.square(g)) p[:].assign(p - hyperparams['lr'] * g / tf.math.sqrt(s + eps)) ``` ```python #@tab paddle def rmsprop(params, states, hyperparams): a = [] gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6 for p, s in zip(params, states): with paddle.no_grad(): s[:] = gamma * s + (1 - gamma) * paddle.square(p.grad) p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / paddle.sqrt(s + eps) p.grad.zero_() a.append(p) return a ``` 我们将初始学习率设置为0.01，加权项$\gamma$设置为0.9。也就是说，$\mathbf{s}$累加了过去的$1/(1-\gamma) = 10$次平方梯度观测值的平均值。 ```python #@tab all data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10) d2l.train_ch11(rmsprop, init_rmsprop_states(feature_dim), {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9}, data_iter, feature_dim); ``` ## 简洁实现我们可直接使用深度学习框架中提供的RMSProp算法来训练模型。 ```python d2l.train_concise_ch11('rmsprop', {'learning_rate': 0.01, 'gamma1': 0.9}, data_iter) ``` ```python #@tab pytorch trainer = torch.optim.RMSprop d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9}, data_iter) ``` ```python #@tab tensorflow trainer = tf.keras.optimizers.RMSprop d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9}, data_iter) ``` ```python #@tab paddle trainer = paddle.optimizer.RMSProp d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate': 0.01, 'rho': 0.9}, data_iter) ``` ## 小结 * RMSProp算法与Adagrad算法非常相似，因为两者都使用梯度的平方来缩放系数。 * RMSProp算法与动量法都使用泄漏平均值。但是，RMSProp算法使用该技术来调整按系数顺序的预处理器。 * 在实验中，学习率需要由实验者调度。 * 系数$\gamma$决定了在调整每坐标比例时历史记录的时长。 ## 练习 1. 如果我们设置$\gamma = 1$，实验会发生什么？为什么？ 1. 旋转优化问题以最小化$f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2$。收敛会发生什么？ 1. 试试在真正的机器学习问题上应用RMSProp算法会发生什么，例如在Fashion-MNIST上的训练。试验不同的取值来调整学习率。 1. 随着优化的进展，需要调整$\gamma$吗？RMSProp算法对此有多敏感？ **mxnet** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/4321) **pytorch** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/4322) **tensorflow** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/4323) **paddle** [Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/11853)