标准回答
中心极限定理（CLT）：设 X₁,...,Xₙ i.i.d.，E[Xᵢ]=μ，Var(Xᵢ)=σ²<∞，则当 n→∞，
(X̄ₙ − μ) / (σ/√n) →^d N(0, 1)
直觉：无论总体多么偏态，样本均值的分布趋向钟形正态；波动幅度 σ/√n。
重要性：
- z/t 检验 与 均值 CI 的理论依据（σ 未知用 s 估计 → t）
- A/B 测试 大样本下比例差近似正态
- 质量控制、民意调查的标准误公式
- 与大数定律配合：LLN 定中心（x̄→μ），CLT 定形状（x̄ 的分布近正态）
局限：n 小且总体极偏/重尾时近似差；要求方差有限（无穷方差的稳定分布不适用）。
详见 概率论基础、置信区间。
常见误区
⚠️ 常见踩坑
CLT 说的是样本均值（或和）的抽样分布趋于正态，不是原始数据会变正态，也不是单个观测会变正态。另一误区：忽略前提——要求独立同分布且方差有限；对柯西分布等无穷方差总体，或强相关的时间序列数据，标准 CLT 不成立。
追问
追问 1：n 多大算「足够大」？
经验法则 n≥30 对不太偏的总体常够用；偏态严重需更大 n。可用模拟/bootstrap 检查 X̄ 的抽样分布是否近正态。
追问 2：CLT 对单个观测成立吗？
不成立。CLT 关于样本均值（或和），不是单次观测。若总体本身正态，任意 n 下 X̄ 精确正态（不仅渐近）。
追问 3：Lyapunov CLT 和 Lindeberg CLT 是什么？
推广到非 i.i.d.（独立但不同分布）情形，用 Lyapunov 或 Lindeberg 条件约束方差。时间序列需更谨慎，独立假设常不满足。
延伸学习
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