核心要点
无偏性：E[θ̂]=θ，估计量的期望恰好等于真实参数，没有系统性偏差。
有效性：在同类（如无偏）估计量中方差最小，下界由 Cramér-Rao 不等式给出。
一致性：n→∞ 时 θ̂ 依概率收敛到真值 θ，是大样本下的最低要求。
三者相互独立：无偏不一定有效或一致；有偏估计量也可能一致（如样本方差除以 n）。
标准回答
三个性质的定义
衡量一个估计量 (\hat\theta) 好坏的三大基本性质：
- 无偏性（Unbiasedness）：(E[\hat\theta]=\theta)。估计量的期望等于真值，无系统性偏差。
- 有效性（Efficiency）：在某一类（通常是无偏）估计量中方差最小。理论下界由 Cramér-Rao 不等式给出，达到下界即最小方差无偏估计（MVUE）。
- 一致性（Consistency）：当样本量 (n\to\infty) 时 (\hat\theta\xrightarrow{P}\theta)（依概率收敛到真值），即数据足够多时一定逼近真值。
三者的关系
它们彼此独立，不能互推：
- 无偏不一定有效（可能方差很大），也不一定一致。
- 有偏估计量也可能一致：如样本方差用 (\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2) 对总体方差是有偏的，但 (n\to\infty) 时偏差消失，仍是一致估计。
- 实践中常做偏差-方差权衡：允许少量偏差换取更小方差，从而降低整体均方误差 MSE = 偏差² + 方差。
常见误区
⚠️ 常见踩坑
无偏与一致是两回事：无偏说的是任意样本量下期望对齐，一致说的是 n→∞ 的极限行为；有偏估计量完全可以是一致的，反之有限样本无偏也未必方差小。
追问
追问 1：样本方差为什么要除以 n-1 而不是 n？
因为用样本均值 (\bar x) 代替未知总体均值 (\mu) 时，离差平方和会系统性偏小（(\bar x) 本身是使平方和最小的点）。可证 (E[\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2)，除以 n 会低估方差。除以 (n-1)（贝塞尔校正，对应自由度损失 1）才能得到无偏估计 (E[s^2]=\sigma^2)。
追问 2：一个估计量可以无偏但完全不实用吗？
可以。无偏只约束期望，不约束方差。例如用单次观测 (x_1) 估计总体均值是无偏的（(E[x_1]=\mu)），但方差等于总体方差、极不稳定，远不如样本均值有效。这说明实践中应综合考虑均方误差 MSE，宁可接受小偏差也要换取明显更小的方差，这正是偏差-方差权衡。
延伸学习
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