6.6 通过时间反向传播
在前面两节中，如果不裁剪梯度，模型将无法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经网络中梯度的计算和存储方法，即通过时间反向传播（back-propagation through time）。
我们在3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中介绍了神经网络中梯度计算与存储的一般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经网络中比较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经网络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应用反向传播计算并存储梯度。
6.6.1 定义模型
简单起见，我们考虑一个无偏差项的循环神经网络，且激活函数为恒等映射（ϕ(x)=x）。设时间步 t 的输入为单样本 xt∈Rd，标签为 yt，那么隐藏状态 ht∈Rh的计算表达式为
ht=Whxxt+Whhht−1,
其中Whx∈Rh×d和Whh∈Rh×h是隐藏层权重参数。设输出层权重参数Wqh∈Rq×h，时间步t的输出层变量ot∈Rq计算为
ot=Wqhht.
设时间步t的损失为ℓ(ot,yt)。时间步数为T的损失函数L定义为
L=T1t=1∑Tℓ(ot,yt).
我们将L称为有关给定时间步的数据样本的目标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。
6.6.2 模型计算图
为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如图6.3所示。例如，时间步3的隐藏状态h3的计算依赖模型参数Whx、Whh、上一时间步隐藏状态h2以及当前时间步输入x3。
6.6.3 方法
刚刚提到，图6.3中的模型的参数是 Whx, Whh 和 Wqh。与3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度∂L/∂Whx、∂L/∂Whh和∂L/∂Wqh。
根据图6.3中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述方便，我们依然采用3.14节中表达链式法则的运算符prod。
首先，目标函数有关各时间步输出层变量的梯度∂L/∂ot∈Rq很容易计算：
∂ot∂L=T⋅∂ot∂ℓ(ot,yt).
下面，我们可以计算目标函数有关模型参数Wqh的梯度∂L/∂Wqh∈Rq×h。根据图6.3，L通过o1,…,oT依赖Wqh。依据链式法则，
∂Wqh∂L=t=1∑Tprod(∂ot∂L,∂Wqh∂ot)=t=1∑T∂ot∂Lht⊤.
其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。
在图6.3中，L只通过oT依赖最终时间步T的隐藏状态hT。因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度∂L/∂hT∈Rh。依据链式法则，我们得到
∂hT∂L=prod(∂oT∂L,∂hT∂oT)=Wqh⊤∂oT∂L.
接下来对于时间步t<T, 在图6.3中，L通过ht+1和ot依赖ht。依据链式法则，
目标函数有关时间步t<T的隐藏状态的梯度∂L/∂ht∈Rh需要按照时间步从大到小依次计算：
∂ht∂L=prod(∂ht+1∂L,∂ht∂ht+1)+prod(∂ot∂L,∂ht∂ot)=Whh⊤∂ht+1∂L+Wqh⊤∂ot∂L
将上面的递归公式展开，对任意时间步1≤t≤T，我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式
∂ht∂L=i=t∑T(Whh⊤)T−iWqh⊤∂oT+t−i∂L.
由上式中的指数项可见，当时间步数 T 较大或者时间步 t 较小时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含∂L/∂ht项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度∂L/∂Whx∈Rh×d和∂L/∂Whh∈Rh×h。
在图6.3中，L通过h1,…,hT依赖这些模型参数。
依据链式法则，我们有
∂Whx∂L∂Whh∂L=t=1∑Tprod(∂ht∂L,∂Whx∂ht)=t=1∑T∂ht∂Lxt⊤,=t=1∑Tprod(∂ht∂L,∂Whh∂ht)=t=1∑T∂ht∂Lht−1⊤.
我们已在3.14节里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从而避免重复计算。例如，由于隐藏状态梯度∂L/∂ht被计算和存储，之后的模型参数梯度∂L/∂Whx和∂L/∂Whh的计算可以直接读取∂L/∂ht的值，而无须重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。
举例来说，参数梯度∂L/∂Whh的计算需要依赖隐藏状态在时间步t=0,…,T−1的当前值ht（h0是初始化得到的）。这些值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。
小结
- 通过时间反向传播是反向传播在循环神经网络中的具体应用。
- 当总的时间步数较大或者当前时间步较小时，循环神经网络的梯度较容易出现衰减或爆炸。
注：本节与原书基本相同，原书传送门
