核心要点
设状态：S0=尚无进展，S1=刚抛出一个正面，目标=连续两正。
列期望方程，按当前状态向后递推一次抛掷。
公平硬币（p=0.5）解得期望次数 E0 = 6。
可推广：首次出现 k 连正的期望为 2^{k+1} - 2。
标准回答
用状态法。定义 E0 = 从「当前无连续正面」出发到达「HH」的期望抛掷次数；E1 = 从「上一次是正面」出发到达「HH」的期望次数。每次抛掷正反各 1/2。
从 S0 抛一次（用掉 1 次）：以 1/2 得正，进入 S1；以 1/2 得反，仍在 S0。
E0 = 1 + 0.5·E1 + 0.5·E0。
从 S1 抛一次：以 1/2 得正，达成 HH（结束，再无后续）；以 1/2 得反，回到 S0。
E1 = 1 + 0.5·0 + 0.5·E0。
解方程：由第一式得 0.5·E0 = 1 + 0.5·E1，即 E0 = 2 + E1。代入第二式 E1 = 1 + 0.5·E0 = 1 + 0.5·(2 + E1) = 2 + 0.5·E1，得 0.5·E1 = 2，E1 = 4，于是 E0 = 6。
所以公平硬币首次出现连续两次正面的期望抛掷次数是 6 次。一般地，首次出现连续 k 个正面的期望次数为 2 + 4 + ... + 2^k = 2^{k+1} - 2（k=2 时为 6，k=1 时为 2）。
常见误区
⚠️ 常见踩坑
不要误答成 4 次（那是「正面出现两次」而非「连续两次」的混淆），也别忘了得到一个正面后若抛出反面要退回 S0 而非 S1，「中断」正是连续模式比独立计数更慢的原因。
追问
追问 1：连续两次正面（HH）与「正面后接反面」（HT）的期望次数为何不同？
HT 的期望是 4 次，HH 是 6 次。原因：等到第一个 H 后，若下一步失败，HT 失败时得到的是 H（仍可作为新起点），而 HH 失败时得到 T（必须从头），所以 HH 更慢。模式的自相关结构决定期望。
追问 2：一般偏置 p 下连续两正的期望是多少？
设正面出现的概率为 p，用同样的状态方程递推可得 E0 = (1 + p) / p²。当 p=0.5 代入得 (1.5)/0.25 = 6，与公平硬币的结论一致；可见 p 越小，需要的期望次数增长得越快。
延伸学习
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