核心要点
设状态：S0=尚无进展，S1=刚抛出一个正面，目标=连续两正。
列期望方程，按当前状态向后递推一次抛掷。
公平硬币（p=0.5）解得期望次数 E0 = 6。
可推广：首次出现 k 连正的期望为 2^{k+1} - 2。
标准回答
一、核心回答可以先把答案说清楚：公平硬币第一次出现连续两个正面，期望抛掷次数是 6 次。一、这题不要硬枚举，要用状态。 可以设两个状态：E0 表示现在没有攒到正面，从这里到 HH 的期望次数；E1 表示刚刚已经抛出了一个 H，从这里到 HH 的期望次数。二、从 E0 出发怎么走？ 二、关键机制
再抛一次肯定先花 1 次。如果抛到 H，就进入 E1；如果抛到 T，还是回到 E0。所以：
E0 = 1 + 0.5E1 + 0.5E0三、从 E1 出发怎么走？ 再抛一次，如果是 H，就完成 HH；如果是 T，前面的 H 被打断，要回到 E0。所以：
E1 = 1 + 0.5 × 0 + 0.5E0
解这两个式子，得到 E1 = 4，E0 = 6。三、面试补充也就是说，从一开始算，期望是 6 次。
这里要特别强调一句：这不是“抛到两个正面”的期望，而是“抛到连续两个正面”。连续性会被反面打断，所以答案比很多人直觉里的 4 更大。
常见误区
⚠️ 常见踩坑
误区一：把答案说成 4。 4 更像是在想“看到两个正面”，但题目要的是连续两个正面。
误区二：从一个 H 之后抛到 T，还以为状态没变。 实际上连续性已经断了，必须回到 E0。
追问
追问 1：连续两次正面（HH）与「正面后接反面」（HT）的期望次数为何不同？
HT 的期望是 4 次，HH 是 6 次。可以这样讲：等到第一个 H 后，HT 失败时看到的是 H，这个 H 还能当新起点；但 HH 失败时看到的是 T，必须从头来，所以 HH 更慢。
追问 2：一般偏置 p 下连续两正的期望是多少？
正面概率为 p 时，用同样状态方程可以推出 E0 = (1 + p) / p²。p=0.5 时就是 6；p 越小，连续两正越难等到。
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延伸学习
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